Boolesche Algebra

Aus EINI
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die boolesche Algebra ist eine algebraische Struktur und beschreibt die Operationen UND, ODER und NICHT, welche auf logischen Aussagen angewendet werden können.

Die boolesche Operatoren

Konjunktion (AND)

Die Konjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Konjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn sowohl A und B wahr sind. Das mathematiche Symbol ist . In Java wird das AND durch && repräsentiert.

Venn and.png
A B A ∧ B
false false false
false true false
true false false
true true true

Disjunktion (OR)

Die Disjunktion ist eine der grundlegenden logischen Verknüpfungen der Aussagenlogik. Die Disjunktion zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist . In Java wird das OR durch || repräsentiert.

A B A ∨ B
false false false
false true true
true false true
true true true

Venn-Diagramm?

Negation (NOT)

Die Negation ist eine wichtige Operation in der Aussagenlogik. Die Negation einer Aussage A führt zur ihrer Verneinung, d.h. aus einer wahren Aussage wird eine falsche Aussage und umgekehrt. Das mathematische Symbol ist ¬. In Java wird das NOT durch ! repräsentiert.

A ¬A
false true
true false

Kontravalenz (XOR)

Die Kontravalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Kontravalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B, aber nicht beide wahr sind. Das mathematische Symbol ist . In Java wird das XOR durch ^ repräsentiert.

A B A ∨ B
false false false
false true true
true false true
true true false

Venn-Diagramm?

Implikation

Die Implikation ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Implikation zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A falsch oder B wahr ist. Das mathematische Symbol ist . Die Implikation ist [semantisch äquivalent] zu ¬A ∨ B. In Java gibt es keinen Implikationsoperator. Eine Implikation wird meistens durch "wenn A, dann B" im Deutschem ausgedrückt.

A B A ⇒ B
false false true
false true true
true false false
true true true

Venn-Diagramm?

Äquivalenz (XNOR)

Die Äquivalenz ist eine erweiterte logische Verknüpfung in der Aussagenlogik. Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Das mathematische Symbol ist . Die Äquivalenz ist [semantisch äquivalent] zu A ∧ B ∨ ¬A ∧ ¬B. In Java gibt es keinen Operator hierfür. Die Äquivalenz wird meistens durch "genau dann A, wenn B" im Deutschem ausgedrückt.

A B A ⇔ B
false false true
false true false
true false false
true true true

Venn-Diagramm?

Peano-Axiome (erweitertes Wissen)

Kommutativgesetze

(1) ABBA

(1') ABBA


Assoziativgesetze

(2) (AB) ∧ CA ∧ (BC)

(2') (AB) ∨ CA ∨ (BC)


Idempotenzgesetze

(3) AAA

(3') AAA


Distributivgesetze

(4) A ∧ (BC) ≡ (AB) ∨ (AC)

(4') A ∨ (BC) ≡ (AB) ∧ (AC)


Neutralitätsgesetze

(5) AtrueA

(5') AfalseA


Extremalgesetze

(6) Afalsefalse

(6') Atruetrue


Doppelnegationsgesetz

(7) ¬¬AA


De Morgansche Gesetze

unwichtig?


Komplementärgesetze

(8) A ∧ ¬Afalse

(8') A ∨ ¬Atrue


Dualitätsgesetze

unwihtig?


Absorptionsgesetze

unwichtig?